Bài tập 39 trang 82 SGK Toán 9 Tập 2

Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S.Chứng minh ES = EM

Hướng dẫn giải chi tiết bài 39

Để chứng minh hai cạnh bằng nhau ở bài 39, ta sẽ chứng minh hai góc bằng nhau trong tam giác cân. Muốn chứng minh các góc bằng nhau, ta xem các góc ấy có nằm trong các góc đã học hay không rồi dựa vào các tính chất để suy ra bài toán.

Giải luyện tập SGK Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Ta có góc MSE là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên:

\(\widehat{MSE}=\frac{sd\widehat{AC}+sd\widehat{BM}}{2}\)

Góc CME là góc tạo bởi tiếp tuyến ME và dây cung MC nên:

\(\widehat{CME}=\frac{sd\widehat{CM}}{2}=\frac{sd\widehat{CB}+sd\widehat{BM}}{2}\)

Mà AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau nên chia đường tròn thành 4 cung có số đo bằng nhau, tức là:

\(sd\widehat{AC}=sd\widehat{BC}\)

Từ các điều trên, ta suy ra được:

\(\widehat{MSE}=\widehat{SME}\)

Vậy tam giác SEM cân tại E

\(\Rightarrow SE=EM\Rightarrow dpcm\)

 

=================

Bài tập 40 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2

Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 40

Với bài tập 40 này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất góc có đỉnh nằm trong đường tròn để giải bài toán, kết hợp góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

Giải luyện tập SGK Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Gọi giao điểm của AD với đường tròn là E.

Vì AE là tia phân giác của góc BAC

\(\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CAE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow sd\widehat{BE}=sd\widehat{EC}\)

Ta có góc ADS là góc có đỉnh bên trong đường tròn

\(\Rightarrow \widehat{ADS}=\frac{sd\widehat{AB}+sd\widehat{BE}}{2}\)

\(=\frac{sd\widehat{AB}+sd\widehat{CE}}{2}=\frac{1}{2}sd\widehat{AE}\)

Mặc khác, góc SAD là góc tạo bởi tiếp tuyến SA và dây cung AE

\(\Rightarrow \widehat{SAD}=\frac{1}{2}sd\widehat{AE}\)

Từ các điều trên:

\(\Rightarrow \widehat{SAD}=\widehat{SDA}\)

Vậy tam giác SDA cân tại S

\(\Rightarrow SA=SD\)

===============

Bài tập 41 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2

Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên trong đường tròn. Chứng minh:

\(\widehat{A}+\widehat{BSM}=2.\widehat{CMN}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 41

Với bài 41 này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn để chứng minh hệ thức.

Giải luyện tập SGK Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ biến đổi vế trái thành vế phải.

Ta có góc BSM là góc có đỉnh ở trong đường tròn nên:

\(\widehat{BSM}=\frac{sd\widehat{CN}+sd\widehat{BM}}{2}\)

Góc A là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn nên:

\(\widehat{A}=\frac{sd\widehat{CN}-sd\widehat{BM}}{2}\)

Vậy cộng hai góc theo yêu cầu đề bài, ta được:

\(\widehat{A}+\widehat{BSM}=2\frac{sd\widehat{CN}}{2}=sd\widehat{CN}\)

Mặc khác, góc CMN là góc nội tiếp chắn cung CN

\(\Rightarrow \widehat{CMN}=\frac{1}{2}sd\widehat{CN}\)

\(\Rightarrow 2\widehat{CMN}=sd\widehat{CN}\)

Đẳng thức được chứng minh.

================

Bài tập 42 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.

a) Chứng minh \(\small AP \perp QR\)

b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân

Hướng dẫn giải chi tiết bài 42

Tương tự với các bài trước, để giải bài 42 ta cần vận dụng tính chất các góc có đỉnh nằm trong và ngoài đường tròn.

Giải luyện tập SGK Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Câu a:

Gọi giao điểm của AP và QR là D

Vì các điểm P, Q, R lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, AC, BC nên điểm đó chia cung ban đầu thành 2 cung có số đo bằng nhau!

Ta có góc ADR là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn nên:

\(\small \widehat{ADR}=\frac{1}{2}\left (sd\widehat{AR}+sd\widehat{QC}+sd\widehat{CP} \right )\)

\(=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{2} sd\widehat{AB}+\frac{1}{2} sd\widehat{AC} +\frac{1}{2} sd\widehat{BC} \right ]=\frac{1}{4}\left [ sd\widehat{AB}+ sd\widehat{AC}+ sd\widehat{BC} \right ]=90^o\)

hay \(\small AP\perp RQ\)

Câu b:

Ta có góc CIP là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên:

\(\small \widehat{CIP}=\frac{1}{2}(sd\widehat{CP}+sd\widehat{AR})\)

Mặc khác, góc ICP là góc nội tiếp chắn cung PR

\(\small \widehat{ICP}=\frac{1}{2}sd\widehat{PR}\)

Mà \(\small sd\widehat{PR}=sd\widehat{RB}+sd\widehat{BP}=sd\widehat{RA}+sd\widehat{CP}\)

\(\small \Rightarrow \widehat{CIP}=\widehat{ICP}\)

Tam giác CPI cân tại P.

=================

Bài tập 43 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD), AD cắt BC tại I. Chứng minh \(\small \widehat{AOC }=\widehat{AIC}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 43

Với bài toán 43 này, ta sẽ nhắc lại khái niệm đã học ở tiết trước, đó là hai đường thẳng song song tạo nên hai cung bị chắn có số đo bằng nhau, từ đó giải quyết bài toán thật dễ dàng

Giải luyện tập SGK Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Theo đề, ta có AB song song với CD, áp dụng kiến thức bài đã học, ta có:

\(\small sd\widehat{AC}=sd\widehat{BD}\)

Mặc khác, góc AIC là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên:

\(\small \widehat{AIC}=\frac{1}{2}(sd\widehat{AC}+sd\widehat{BD})\)

\(\small =sd\widehat{AC}=\widehat{AOC}\)

Bài toán được giải quyết hoàn toàn.

Reader Interactions

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *