Giải bài tập SGK Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Ta có \(-1 ≤ sin\,\alpha ≤1\)

a) Ta thấy \(-1 ≤ -0,7 ≤ 1\)

Vậy có cung \(α\)sao cho \(sin α = -0,7\)

b) Ta thấy \( \frac{4}{3}> 1\).

Vậy không có cung \(α\)có \(\sin\,\alpha = \frac{4}{3}\)

c) Ta thấy \(-\sqrt2 < -1\)

Vậy không tồn tại cung \(\alpha \)thỏa mãn.

d) Ta thấy \( \frac{\sqrt{5}}{2} > 1\)

Vậy không tồn tại cung \(\alpha \)thỏa mãn.

Ta có \(sin^2\alpha + cos^2\alpha =1\)

a) Ta thấy \( sin^2\alpha + cos^2\alpha =\left ( \frac{\sqrt{2}}{3} \right )^{2} +\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2}< 1\)

Vậy đẳng thức không thể đồng thời xảy ra.

b) Ta thấy \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = \left ( -\frac{4}{5} \right )^{2}+\left ( -\frac{3}{5} \right )^{2} = 1\)

Vậy đẳng thức có thể đồng thời xảy ra.

c) Ta thấy \(sin^2\alpha + cos^2\alpha =(0,7)^2+(0,3)^2=0,58<1\)

Vậy đẳng thức không thể đồng thời xảy ra.

Với \(0 < α < \frac{\pi}{2}\)

a) Ta có \(\alpha – \pi <0 \Rightarrow \sin(α – π) < 0\)

b) Đặt  \(x=\frac{3\pi }{2}-\alpha \Leftrightarrow \alpha =\frac{3\pi }{2}-x\)

Ta lại có

\(0 < α < \frac{\pi}{2}\Rightarrow 0<\frac{3\pi }{2}-x<\frac{\pi}{2}\Rightarrow \pi <x<\frac{3\pi }{2}\)

\(\Rightarrow x \)là số đo của \(\overparen{AM} \)

Vậy M thuộc góc phần tư thứ III.

\(\Rightarrow \cos\left( \frac{3\pi }{2}- α\right)< 0\)

c) \(\tan(α + π) =tan \alpha > 0\)

d) Đặt \(x=\alpha + \frac{\pi }{2}\Rightarrow \alpha = x – \frac{\pi }{2}\)

Ta lại có

\(0 < α < \frac{\pi}{2}\Rightarrow 0 < x – \frac{\pi }{2} < \frac{\pi}{2}\Leftrightarrow \frac{\pi }{2}<x<\pi\)

\(\Rightarrow x \)là số đo của \(\overparen{AM} \)

Vậy M thuộc góc phần tư thứ II.

\(\Rightarrow \cot\left(α +  \frac{\pi }{2}\right) < 0\)

a) Vì \(0 < α <  \frac{\pi}{2}\) nên \(\sinα > 0, \tanα > 0, \cotα > 0\)

• \(\sinα =  \sqrt{1-(\frac{4}{13})^{2}}=\frac{\sqrt{153}}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13}\)
• \(\cotα =  \left ( \frac{4}{13} \right )\div \frac{3\sqrt{17}}{13}=\frac{4\sqrt{17}}{51}\)
• \(\tanα =\frac{1}{cot\,\alpha}= \frac{3\sqrt{17}}{4}\)

b) Vì \(π < α <  \frac{3\pi }{2}\) nên \(\sinα < 0, \cosα < 0, \tanα > 0, \cotα > 0\)

• \(\cosα = -\sqrt{(1 – sin^2 α)} = -\sqrt{(1 – 0,49) }= -\sqrt{0,51} ≈ -0,7141\)
• \(\tanα ≈ 0,9802\)
• \(\cotα ≈ 1,0202\)

c) Vì \( \frac{\pi }{2} < α < π\) nên \(\sinα > 0, \cosα < 0, \tanα < 0, \cotα < 0 \)

• \(\cosα = -\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{15}{7})^{2}}}=-\frac{7}{274}≈ -0,4229\)
• \(\sinα =  \sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{7}{15})^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{274}}≈0,9062\)
• \(\cotα = – \frac{7}{15}\)

d) Vì \( \frac{3\pi}{2} < α < 2π\) nên \(\sinα < 0, \cosα > 0, \tanα < 0, \cotα < 0\)

• \(\tanα =  \frac{1}{\cot\alpha }=-\frac{1}{3}\)
• \(\sinα =  -\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{10}}≈-0,3162\)
• \(\cosα =  \sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{1}{3}^{2})}}=\frac{3}{\sqrt{10}}≈0,9487\)

a) \(α = k2π, k \in \mathbb Z\)

b) \(α = (2k + 1)π, k \mathbb Z\)

c) \(α =  \frac{\pi}{2}+ kπ, k \in\mathbb Z\)

d) \(α =  \frac{\pi }{2} + k2π, k\in \mathbb Z\)

e) \(α =  \frac{3\pi }{2}+ k2π, k \in\mathbb Z\)

f) \(α = kπ, k \in\mathbb Z\)